Problemas Resueltos Transformadas De Laplace Uni

Problemas Resueltos de Transformadas de Laplace: Guía Completa para Estudiantes Universitarios

La Transformada de Laplace es una herramienta matemática poderosa y omnipresente en la ingeniería y la física. Resolver problemas con transformadas de Laplace requiere una comprensión profunda de sus propiedades y aplicaciones. Este artículo ofrece una guía exhaustiva con problemas resueltos, especialmente diseñada para estudiantes universitarios.

Introducción a la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace, nombrada en honor al matemático y astrónomo Pierre-Simon Laplace, es una herramienta integral en el análisis de sistemas lineales, circuitos eléctricos, teoría de control, y muchas otras áreas de la ingeniería y la física. En esencia, transforma una función del dominio del tiempo (t) a una función del dominio de la frecuencia compleja (s). Esto permite simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales, especialmente aquellas que involucran condiciones iniciales.

Formalmente, la Transformada de Laplace de una función f(t), definida para t ≥ 0, se define como:

F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt

Donde:

• F(s) es la transformada de Laplace de f(t).
• s es una variable compleja (s = σ + jω, donde σ y ω son números reales y j es la unidad imaginaria).
• La integral se evalúa desde 0 hasta infinito.

La principal ventaja de utilizar la Transformada de Laplace radica en su capacidad para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en el dominio s. Resolver estas ecuaciones algebraicas suele ser mucho más sencillo que resolver las ecuaciones diferenciales originales. Una vez que se obtiene la solución en el dominio s, se aplica la Transformada Inversa de Laplace para regresar al dominio del tiempo, obteniendo así la solución del problema original.

Propiedades Clave de la Transformada de Laplace

Para resolver problemas de manera efectiva con la Transformada de Laplace, es crucial comprender y manejar sus propiedades fundamentales. Estas propiedades permiten manipular las transformadas y simplificar los cálculos. A continuación, se resumen algunas de las propiedades más importantes:

1. Linealidad: La Transformada de Laplace es una operación lineal, lo que significa que:

   • L{a * f(t) + b * g(t)} = a * L{f(t)} + b * L{g(t)} = a * F(s) + b * G(s)
   • Donde a y b son constantes, y f(t) y g(t) son funciones.

2. Transformada de la Derivada: Esta propiedad es fundamental para resolver ecuaciones diferenciales.

   • L{f'(t)} = s * F(s) - f(0)
   • L{f''(t)} = s² * F(s) - s * f(0) - f'(0)
   • En general, L{f^(n)(t)} = s^n * F(s) - s^(n-1) * f(0) - s^(n-2) * f'(0) - ... - f^(n-1)(0)
   • Donde f'(t) y f''(t) representan la primera y segunda derivada de f(t), respectivamente, y f(0) y f'(0) son las condiciones iniciales.

3. Transformada de la Integral:

   • L{∫₀^t f(τ) dτ} = F(s) / s

4. Teorema del Desplazamiento en el Tiempo (Traslación en el Tiempo):

   • L{f(t - a) * u(t - a)} = e^(-as) * F(s)
   • Donde u(t - a) es la función escalón unitario, que es 0 para t < a y 1 para t ≥ a.

5. Teorema del Desplazamiento en la Frecuencia (Traslación en la Frecuencia):

   • L{e^(at) * f(t)} = F(s - a)

6. Teorema de la Multiplicación por t:

   • L{t * f(t)} = -d/ds [F(s)]
   • En general, L{t^n * f(t)} = (-1)^n * d^n/ds^n [F(s)]

7. Teorema de la División por t:

   • L{f(t) / t} = ∫s^∞ F(σ) dσ

8. Teorema del Valor Inicial:

   • lim (t→0) f(t) = lim (s→∞) s * F(s)
   • Este teorema permite encontrar el valor inicial de la función f(t) sin necesidad de aplicar la Transformada Inversa.

9. Teorema del Valor Final:

   • lim (t→∞) f(t) = lim (s→0) s * F(s)
   • Este teorema permite encontrar el valor final de la función f(t), siempre y cuando el límite exista.

Tabla de Transformadas de Laplace Comunes

Para aplicar la Transformada de Laplace de manera eficiente, es útil tener a mano una tabla de transformadas comunes. A continuación, se presenta una tabla con algunas de las funciones más utilizadas y sus respectivas transformadas:

Problemas Resueltos Paso a Paso

A continuación, se presentan varios problemas resueltos que ilustran el uso de la Transformada de Laplace en diferentes contextos. Cada problema se resuelve paso a paso, explicando el razonamiento y las propiedades utilizadas.

Problema 1: Transformada de una función exponencial multiplicada por t

Encuentre la Transformada de Laplace de la función f(t) = t * e^(-2t).

Solución:

1. Identificar la función base: La función base es e^(-2t), cuya Transformada de Laplace es 1/(s + 2).

2. Aplicar el Teorema de la Multiplicación por t: L{t * f(t)} = -d/ds [F(s)].

3. Derivar la transformada de la función base:

   • F(s) = 1/(s + 2)
   • d/ds [F(s)] = d/ds [1/(s + 2)] = -1/(s + 2)²

4. Aplicar el teorema: L{t * e^(-2t)} = -(-1/(s + 2)²) = 1/(s + 2)²

Por lo tanto, la Transformada de Laplace de t * e^(-2t) es 1/(s + 2)².

Problema 2: Resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden con condiciones iniciales

Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = e^(-t)

Con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y'(0) = 0

Solución:

1. Aplicar la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

   • L{y''(t)} + 3L{y'(t)} + 2L{y(t)} = L{e^(-t)}
   • (s²Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = 1/(s + 1)

2. Sustituir las condiciones iniciales:

   • (s²Y(s) - s(1) - 0) + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = 1/(s + 1)
   • s²Y(s) - s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = 1/(s + 1)

3. Agrupar términos y resolver para Y(s):

   • (s² + 3s + 2)Y(s) = 1/(s + 1) + s + 3
   • (s² + 3s + 2)Y(s) = (1 + (s + 3)(s + 1))/(s + 1)
   • (s² + 3s + 2)Y(s) = (1 + s² + 4s + 3)/(s + 1)
   • (s² + 3s + 2)Y(s) = (s² + 4s + 4)/(s + 1)
   • Y(s) = (s² + 4s + 4)/((s + 1)(s² + 3s + 2))
   • Y(s) = (s² + 4s + 4)/((s + 1)(s + 1)(s + 2))
   • Y(s) = (s + 2)²/((s + 1)²(s + 2))
   • Y(s) = (s + 2)/((s + 1)²)

4. Realizar la descomposición en fracciones parciales:

   • Y(s) = A/(s + 1) + B/(s + 1)²
   • s + 2 = A(s + 1) + B
   • s + 2 = As + A + B
   • A = 1, A + B = 2, por lo tanto, B = 1
   • Y(s) = 1/(s + 1) + 1/(s + 1)²

5. Aplicar la Transformada Inversa de Laplace:

   • y(t) = L^(-1){1/(s + 1)} + L^(-1){1/(s + 1)²}
   • y(t) = e^(-t) + t * e^(-t)
   • y(t) = e^(-t) (1 + t)

Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es y(t) = e^(-t) (1 + t).

Problema 3: Transformada de Laplace de una función definida por partes

Encuentre la Transformada de Laplace de la función f(t) definida como:

• f(t) = 0, 0 < t < 2
• f(t) = t, t > 2

Solución:

1. Expresar la función usando la función escalón unitario:

   • f(t) = t * u(t - 2)

2. Aplicar el Teorema del Desplazamiento en el Tiempo: Para usar este teorema directamente, necesitamos expresar f(t) en términos de (t - 2).

   • f(t) = (t - 2 + 2) * u(t - 2) = (t - 2) * u(t - 2) + 2 * u(t - 2)

3. Aplicar la Transformada de Laplace:

   • L{f(t)} = L{(t - 2) * u(t - 2)} + L{2 * u(t - 2)}
   • L{f(t)} = e^(-2s) * L{t} + 2 * e^(-2s) / s
   • L{f(t)} = e^(-2s) * (1/s²) + 2 * e^(-2s) / s
   • L{f(t)} = e^(-2s) * (1/s² + 2/s) = e^(-2s) * (1 + 2s)/s²

Por lo tanto, la Transformada de Laplace de f(t) es e^(-2s) * (1 + 2s)/s².

Problema 4: Encontrar la transformada inversa de Laplace usando fracciones parciales

Encuentre la Transformada Inversa de Laplace de la función:

F(s) = (s + 1) / (s² + 5s + 6)

Solución:

1. Factorizar el denominador:

   • s² + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)
   • F(s) = (s + 1) / ((s + 2)(s + 3))

2. Realizar la descomposición en fracciones parciales:

   • (s + 1) / ((s + 2)(s + 3)) = A/(s + 2) + B/(s + 3)
   • s + 1 = A(s + 3) + B(s + 2)
   • s + 1 = As + 3A + Bs + 2B
   • s + 1 = (A + B)s + (3A + 2B)
   • Igualando coeficientes:
     • A + B = 1
     • 3A + 2B = 1

3. Resolver el sistema de ecuaciones:

   • De la primera ecuación: B = 1 - A
   • Sustituyendo en la segunda ecuación: 3A + 2(1 - A) = 1
   • 3A + 2 - 2A = 1
   • A = -1
   • B = 1 - (-1) = 2

4. Sustituir los valores de A y B:

   • F(s) = -1/(s + 2) + 2/(s + 3)

5. Aplicar la Transformada Inversa de Laplace:

   • f(t) = L^(-1){-1/(s + 2)} + L^(-1){2/(s + 3)}
   • f(t) = -e^(-2t) + 2e^(-3t)

Por lo tanto, la Transformada Inversa de Laplace de F(s) es f(t) = -e^(-2t) + 2e^(-3t).

Problema 5: Usando el Teorema del Valor Inicial y Final

Dada la transformada de Laplace F(s) = (2s + 1) / (s² + 3s + 2), determine los valores inicial y final de f(t).

Solución:

1. Teorema del Valor Inicial:

   • lim (t→0) f(t) = lim (s→∞) s * F(s)
   • lim (t→0) f(t) = lim (s→∞) s * (2s + 1) / (s² + 3s + 2)
   • lim (t→0) f(t) = lim (s→∞) (2s² + s) / (s² + 3s + 2)
   • Dividiendo numerador y denominador por s²:
   • lim (t→0) f(t) = lim (s→∞) (2 + 1/s) / (1 + 3/s + 2/s²) = 2/1 = 2
   • Por lo tanto, el valor inicial de f(t) es 2.

2. Teorema del Valor Final:

   • lim (t→∞) f(t) = lim (s→0) s * F(s)
   • lim (t→∞) f(t) = lim (s→0) s * (2s + 1) / (s² + 3s + 2)
   • lim (t→∞) f(t) = lim (s→0) (2s² + s) / (s² + 3s + 2) = 0/2 = 0
   • Por lo tanto, el valor final de f(t) es 0.

Consejos y Estrategias para Resolver Problemas

• Dominar las propiedades: Familiarícese profundamente con las propiedades de la Transformada de Laplace. La capacidad de reconocer y aplicar estas propiedades es crucial para simplificar los problemas.
• Practicar con diversos ejemplos: La práctica constante es la clave para dominar cualquier técnica matemática. Resuelva una variedad de problemas, desde los más básicos hasta los más complejos.
• Utilizar tablas de transformadas: Tenga a mano una tabla de transformadas comunes. Esto agilizará el proceso de encontrar las transformadas directas e inversas.
• Descomposición en fracciones parciales: Esta técnica es esencial para encontrar la Transformada Inversa de Laplace cuando la función en el dominio s es una función racional.
• Comprobar las condiciones iniciales: Asegúrese de que las condiciones iniciales estén correctamente incorporadas en la ecuación transformada. Un error en las condiciones iniciales conducirá a una solución incorrecta.
• Simplificar las expresiones: Simplifique las expresiones algebraicas tanto como sea posible antes de aplicar la Transformada Inversa. Esto facilitará el proceso de descomposición en fracciones parciales y reducirá la probabilidad de errores.
• Validar la solución: Siempre que sea posible, valide la solución obtenida. Sustituya la solución en la ecuación diferencial original para verificar que satisface la ecuación y las condiciones iniciales.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

• ¿Cuándo es útil la Transformada de Laplace?

  • La Transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, particularmente aquellas que involucran condiciones iniciales. También es útil para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI).

• ¿Qué es la Región de Convergencia (ROC)?

  • La Región de Convergencia es el conjunto de valores de s para los cuales la integral de la Transformada de Laplace converge. La ROC es importante para garantizar que la Transformada Inversa de Laplace sea única.

• ¿Cómo se elige la técnica adecuada para la descomposición en fracciones parciales?

  • La técnica a utilizar depende de la forma del denominador de la función racional. Si el denominador tiene factores lineales distintos, se utiliza la descomposición estándar. Si tiene factores lineales repetidos, se deben incluir términos adicionales para cada factor repetido. Si tiene factores cuadráticos irreducibles, se deben incluir términos con numeradores de la forma As + B.

• ¿Qué hacer si la integral de la Transformada de Laplace no converge?

  • Si la integral no converge para ningún valor de s, entonces la Transformada de Laplace no existe para esa función.

• ¿Cómo puedo verificar mi solución?

  • Puede verificar su solución sustituyéndola en la ecuación diferencial original y verificando que satisface tanto la ecuación como las condiciones iniciales. También puede utilizar software de cálculo simbólico para verificar sus resultados.

Conclusión

La Transformada de Laplace es una herramienta invaluable para ingenieros y científicos. Este artículo ha proporcionado una guía completa con problemas resueltos paso a paso, ejemplos ilustrativos y consejos prácticos. Al comprender las propiedades, dominar las técnicas y practicar con diversos ejemplos, los estudiantes universitarios pueden desarrollar una sólida comprensión de la Transformada de Laplace y aplicarla con éxito a una amplia gama de problemas en sus respectivos campos. El dominio de esta técnica matemática abre un mundo de posibilidades en el análisis y diseño de sistemas complejos.